【C++】红黑树的性质和实现

距离上次更新本文已经过去了 310 天，文章部分内容可能已经过时，请注意甄别

上篇博客我们了解了 AVL 树，这篇博客就让我们来看看另外一个二叉树：红黑树

使用的编译器：VS2019

[TOC]

博客里面引用了一些百度搜到的图片（自己懒的画了，呜呜）

1. 概念

AVL 树是一个几乎完全平衡的搜素二叉树，其左右子树的高度差不会超过 1。与之相对应的，是每一次插入都有可能需要旋转多次，插入的效率较低。

而红黑树则选择了 “相对平衡”，并拥有以下的特性：

红黑树可以保证最长路径的小于最短路径的 2 倍
比如最短路径为 30，那么最长路径就不能超过 60

对于 cpu 来说，AVL 树遍历 20 次（百万级数据）和红黑树遍历 40 次的时间差距极小。所以红黑树即保持了相对平衡，又减小了 AVL 树多次旋转的消耗。

1.1 性质

其通过下面的几点来维持这一性质：

每一个节点不是红色就是黑色
根节点一定是黑色
每一个红节点的左右子树都是黑色
每一个到叶子（空节点 NIL）的支路上黑节点数量相同
叶子节点（空节点 NIL）视作黑色

为什么满足了这几个情况，就满足了红黑树的最长路径的小于最短路径的2倍的性质呢？

约束 4 和 5，保证了红黑树的大致平衡：根到叶子的所有路径中，最长路径不会超过最短路径的 2 倍。

这使得红黑树在最坏的情况下，也能有 O(logN) 的查找效率

黑色高度为 3 时，最短路径：黑色→ 黑色 →黑色
最长路径：黑色→红色 →黑色 →红色 →黑色
此时最短路径的长度为 2（不算 Nil 的叶子节点），最长路径为 4

这里可以得出一个普遍规律，红黑树最短路径即为全黑路径。而最长路径是一黑一红间隔的情况

1.2 时间复杂度

平衡二叉树（AVL 树）和红黑树都是常用的自平衡二叉搜索树。它们的查询操作的平均时间复杂度都为 O(log n)，其中 n 是树中节点的数量。

在平衡二叉树中，任意节点的左子树和右子树的高度差不超过 1，通过局部旋转操作可以保持平衡。这样，树的高度始终保持在 O(log n) 的水平，从而使得查询操作的时间复杂度为 O(log n)。

根据上文提到的红黑树性质，红黑树的高度也会始终保持在 O(log n) 的水平，因此查询操作的时间复杂度也为 O(log n)。实际上，红黑树的增删改时间复杂度都是 O(log n)，因为本质上都是一次查找找到目标节点的位置，再进行常数级别的翻转 / 删除操作。

2. 设计一颗红黑树

在设计红黑树的时候，我们需要牢记上面的 5 点。其中前 4 点非常重要且不可以被破坏。一旦被破坏，就影响了红黑树的基本性质。

2.1 设计节点

和 AVL 树一样，我们需要把节点单独成一个类，来存放我们需要的 pair

这里就设计到了颜色的初值应该给什么。红色，还是黑色？

来看看性质 3 和 4：

红色的左右子树必须是黑色
每一个到叶子（空节点 NIL）的支路上黑节点数量相同

简单思考，即可发现，插入红节点的时候，更好控制。而插入黑节点极有可能破坏性质 4 且较难修复。

cpp

//枚举，定义颜色
enum Color
{
	RED,//0
	BLACK,//1
};


//节点类
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	//AVL树的平衡因子，在红黑树中为颜色
	Color _col;
	//插入节点的时候，默认为红色
	//因为这个满足性质3且不会破坏性质4
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv),
		_left(nullptr),
		_right(nullptr),
		_parent(nullptr),
		_col(RED)
	{}
};

2.2 插入的几种情况

节点设计好了，我们只需要把插入的逻辑搞定，那么红黑树也就完成了！

前半部分的代码和 AVL 树完全相同，只不过我们需要手动给根节点一个黑色（默认是红色）以维持性质 2

cpp

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	//判断root为空，即空树
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;//这里必须要手动给黑色
		return true;
	}
	//kv树的操作
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		//利用key来判断，寻找待插入的位置
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else {
			return false;
		}
	}
	//找到位置后插入节点
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
       //调整
       //……
  }

2.2.1 情况 1：无需旋转

在下面的这种情况中，我们在 p 的左边插入了一个 cur 新节点。此时违反了性质 3，红节点的孩子必须要是黑节点。

这种情况必须满足 p 和 u 都是红节点

随后我们就需要开始向上进行更新，操作如下：

把 p 和 u 都改成黑节点
把 g 改成红节点

修改之后的结果如下，即不影响性质 3；也保证了黑节点的个数不变，维持了性质 4

需要注意的是，这里的 g 不一定是根节点。所以在操作完这一课子树之后，我们需要继续向上进行操作，避免 g 的父节点是红色的情况。

代码实现如下（以父节点为 g 的左子树为例）

cpp

//插入之后需要向上更新颜色,只有出现连续红色之后才需要更新
while (parent && parent->_col==RED)
{
    //p是g的左
    if (parent == grandpa->_left)
    {
        Node* uncle = grandpa->_right;
        //情况1：插入后p是红，u存在且是红（不需要旋转）
        if (uncle && uncle->_col == RED)
        {
            uncle->_col = BLACK;
            parent->_col = BLACK;
            grandpa->_col = RED;//祖父变成红
            //继续向上调整
            //cur = cur->_parent;
            //parent = parent->_parent;
            cur = grandpa;
            parent = cur->_parent;
        }
    }
    else{
        //....
    }
}

需要注意的是，这种调整会把 g 改成红节点。如果 G 是根节点，改成红色之后就不符合性质了。所以我们需要在操作完成之后，统一把根节点改成黑色

cpp

1 2	//不管是什么情况，最后都把根改成黑，符合条件2 _root->_col = BLACK;

2.2.2 情况 2：需要单旋

当我们插入了一个 cur 向上更新的时候，就可能会遇到下图中间的情况。p 是红节点，违反了性质 3，而 u 是黑节点，不能简单粗暴的通过把 p 改成红来解决。

这时候我们就需要针对 g 进行一次单旋（图中是右单旋，可以简单理解为向 u 旋转）。因为 cur 和 p 形成了同侧的连续两个红节点。和 AVL 树的单旋情况相似，只有这两节点在同侧，才可以执行单旋。

旋转完毕之后，需要把 g 更新为红节点，p 更新为黑节点

2.2.3 情况 3：需要双旋

在情况 2 中，p 和 cur 都是在它们父亲的同一侧。而情况 3 就是 p 和 cur 在父亲的不同侧。

比如 p 是 g 的左子树，cur 是 p 的右子树
同时满足 p 是红，u 是黑

这时候就需要进行一次三旋，操作如下：

以 p 作为基点，向 cur 的另外一个方向单旋一次（上图中就是左旋）
旋转了之后，就会变成情况 2
这时候再以 g 为基点，向 u 的方向旋转一次（上图中为右旋）
旋转完成之后，把 g 设置为红，cur 设置为黑即可

一下是完整的三种情况代码（p 是 g 的左子树的情况）

cpp

//p是g的左
if (parent == grandpa->_left)
{
    Node* uncle = grandpa->_right;
    //情况1：插入后p是红，u存在且是红（不需要旋转）
    if (uncle && uncle->_col == RED)
    {
        uncle->_col = BLACK;
        parent->_col = BLACK;
        grandpa->_col = RED;//祖父变成红
        //继续向上调整
        //cur = cur->_parent;
        //parent = parent->_parent;
        cur = grandpa;
        parent = cur->_parent;
    }
    else//(uncle && uncle->_col == BLACK)
    {
        //情况2：插入后p为红，u存在且为黑（需要单旋）
        if (cur == parent->_left)
        {
            RotateR(grandpa);//因为p在g的左边，所以右旋
            parent->_col = BLACK;
            grandpa->_col = RED;
        }
        else//cur == parent->_right
        {
            //情况3：不是在同一侧，双旋
            //   g
            // p
            //   c
            RotateL(parent);
            RotateR(grandpa);
            grandpa->_col = RED;//祖父改成红色
            cur->_col = BLACK;//自己成为了这里的根，需要改成黑的
        }
        break;
    }
}
else{
    //....
}

由于篇幅限制，p 是 g 右子树的情况就不贴出来了，实际上就是把上面的代码全反过来就行了

完整代码请查看我的 gitee 仓库

2.3 查找（和 AVL 树完全相同）

cpp

//因为kvl树我们需要修改value，所以返回节点的指针
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return nullptr;

	if (root->_kv.first < key)
	{
		return _FindR(root->_right, key);
	}
	else if (root->_kv.first > key)
	{
		return _FindR(root->_left, key);
	}
	else
	{
		return root;
	}
}
//查找是通过key来进行的
Node* FindR(const K& key)
{
	return _FindR(_root, key);
}

2.4 判断是否是红黑树

有两种方案，1 是可以通过计算最大高度 / 最小高度进行间接判断，2 是以红黑树性质来验证是否满足最上面提到的 5 点

2.4.1 计算最小最大高度

这里实现递归即可，最小长度其实就是在最后 return 的判断中，把大于号改成小于号，返回小的那个子树的高度 + 1

cpp

int maxHeight(){
	return _maxHeight(_root);
}
int minHeight() {
	return _minHeight(_root);
}

//最大长度
int _maxHeight(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int lh = _maxHeight(root->_left);
	int rh = _maxHeight(root->_right);

	return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
//最小长度
int _minHeight(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int lh = _minHeight(root->_left);
	int rh = _minHeight(root->_right);

	return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

只要最大长度小于最小长度的 2 倍，那么基本规则就是没有破坏的

但这还不够，我们还需要检查它是否满足红黑树的其余性质

2.4.2 递归检查性质

这里再次列出 5 点性质

每一个节点不是红色就是黑色
根节点一定是黑色
每一个红节点的左右子树都是黑色
每一个到叶子（空节点 NIL）的支路上黑节点数量相同
叶子节点（空节点 NIL）视作黑色

然后通过两个函数来实现，其中一个函数需要进行递归

cpp

bool IsRBTree()
{
    //检查红黑树几条规则
    Node* pRoot = _root;
    //空树也是红黑树
    if (nullptr == pRoot)
        return true;

    //检测根节点是否满足情况2
    if (BLACK != pRoot->_col)
    {
        cout << "违反2：根节点必须为黑色" << endl;
        return false;
    }

    //获取任意一条路径中黑色节点的个数，作为基准值
    size_t blackCount = 0;
    Node* pCur = pRoot;
    while (pCur)
    {
        if (BLACK == pCur->_col)
            blackCount++;

        pCur = pCur->_left;
    }

    //检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
    size_t k = 0;
    return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}	
//检测是否为RB树
bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
    //走到null之后，判断k和black是否相等
    if (nullptr == pRoot)
    {
        if (k != blackCount)
        {
            cout << "违反4：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
            return false;
        }
        return true;
    }

    //统计黑色节点的个数
    if (BLACK == pRoot->_col)
        k++;

    //检测当前节点与其双亲是否都为红色
    if (RED == pRoot->_col && pRoot->_parent && pRoot->_parent->_col == RED)
    {
        cout << "违反3：存在连在一起的红色节点" << endl;
        return false;
    }

    return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) &&
        _IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);
}

可以看到，不管是随机数还是顺序插入，都通过了检查

3. 红黑树的运用

红黑树在很多地方都有使用，在 C++ 中，最为经典的便是 map 和 set 这两个容器，它们便使用了红黑树作为底层逻辑

https://gitee.com/musnow/learn_cpp_code/blob/master/STL-Sourcecode/stl_tree.h

在 stl 源码中，我们可以找到这个 tree.h，里面便是一个红黑树的实现。而 map 和 set 就是调用了红黑树，只做了一个简单的封装

结语

在下篇博客中，我会记录 map 和 set 的基本使用，以及通过红黑树模拟实现 map 和 set

感谢大家支持！

1. 概念

1.1 性质

1.2 时间复杂度

2. 设计一颗红黑树

2.1 设计节点

2.2 插入的几种情况

2.2.1 情况 1：无需旋转

2.2.2 情况 2：需要单旋

2.2.3 情况 3：需要双旋

2.3 查找（和 AVL 树完全相同）

2.4 判断是否是红黑树

2.4.1 计算最小最大高度

2.4.2 递归检查性质

3. 红黑树的运用

结语

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