【leetcode】1143. 最长公共子序列

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leetcode 刷题笔记 - 1143. 最长公共子序列

题目

https://leetcode.cn/problems/longest-common-subsequence/description/

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，”ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

思路

这道题和 718. 最长重复子数组的区别在于，718 要求的是连续的子序列，而本题不要求子序列连续，就不是让你算子数组了。

虽然题目给出的是字符串，但本质上我们可以把它当作数组来处理，没有区别。

• dp[i][j] 代表字符串 a 中 i-1 和字符串 b 中 j-1 下标之前的最长公共子序列的长度。

这样做就可以不对数组提前进行初始化了，因为 dp[0][x] 和 dp[x][0] 都是没有意义的。因为不会存在以下标 -1 为结尾的字符串，也自然没有公共子序列。换句话说，长度为 0 的字符串是不会有公共子序列的。

依照 dp 数组，可以想出递推的公式，当 a[i-1] 和 b[j-1] 相同的时候，就说明子序列可以被扩展，dp[i][j] == dp[i-1][j-1]+1。

如果不相同，则代表子序列断了，但注意我们 dp 数组的含义，它代表的是 i-1 和 j-1 之前的最长公共子序列的长度，即便 i-1 和 j-1 不相等，这个最长公共子序列依旧是有一个取值的，即选用 “前一位” 的公共子序列长度最大值。

但由于 dp 是一个二维数组，这里的 “前一位” 就有两个情况了，分别是 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]，对应含义是字符串 a 中前一位（根据 dp 数组，下标是 i-1，公共子序列的含义是 i-2）和 b[j-1] 能构成的最长公共子序列，以及字符串 b 中前一位和 a[i-1] 能构成的最长公共子序列的长度。需要用 max 来选取二者的最大值。

递推的代码如下。

if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
	dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
	dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

根据递推公式，dp[i][j] 的值可以从 dp 数组中的三个方向推导出来，如下图所示。

剩下的代码就很简单了，因为我们不需要对 dp 数组进行提前初始化，直接用 vector 构造函数统一初始化为 0 就可以了，然后从 1 开始遍历直到字符串末尾，维护一个最大值，返回即可。

其实不维护最大值也是可以的，因为根据 dp 数组的定义，dp[a.size()][b.size()] 就是我们需要的最大值。

代码 1

完整的代码如下，具体参考注释中的说明。

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string a, string b) {
        int result = 0; // 结果集初始化
        // dp[i][j] 代表a中i和b中j下标和下标之前的最长公共子序列的长度
        // i为0和j为0的情况下，长度为0的字符串是不会有公共子序列的，所以可以全部初始化为0
        vector<vector<int>> dp(a.size() + 1, vector<int>(b.size() + 1, 0));
        // 判断 a[i-1] == b[j-1] 代表公共子序列可以扩展
        // dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
        // 其他情况，代表公共子序列不能扩展，那么当前的最长公共子序列和前一位的相同
        // 因为是二维数组，所以“前一位”其实有两种情况，分别是i-1和j-1，用max取最大值
        for (int i = 1; i <= a.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= b.size(); j++) {
                if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
                if (dp[i][j] > result) {
                    result = dp[i][j];
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

代码 2：提前初始化

依照 718 题的思路，我们也可以写出一个提前初始化 dp 数组的代码，完整代码如下。

注意初始化的情况也有所不同，因为本题要求的是子序列，可以出现不连续的情况，即便 a[i] != b[0]，我们也需要沿用之前 dp[i - 1][0] 的结果，来保证初始化是正确的。

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string a, string b) {
        int result = 0; // 结果集初始化
        // dp[i][j] 代表a中i和b中j下标和下标之前的最长公共子序列的长度
        vector<vector<int>> dp(a.size(), vector<int>(b.size(), 0));
        // 初始化，判断第一个字符是否有相同的位置
        for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
            if (a[i] == b[0]) {
                dp[i][0] = 1;
                result = 1;
            } else if (i > 0) {
                dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            }
        }
        for (int j = 0; j < b.size(); j++) {
            if (b[j] == a[0]) {
                dp[0][j] = 1;
                result = 1;
            } else if (j > 0) {
                dp[0][j] = dp[0][j - 1];
            }
        }
        // 判断 a[i] == b[j] 代表公共子序列可以扩展
        // dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
        // 其他情况，代表公共子序列不能扩展，那么当前的最长公共子序列和前一位的相同
        // 因为是二维数组，所以“前一位”其实有两种情况，分别是i-1和j-1，用max取最大值
        for (int i = 1; i < a.size(); i++) {
            for (int j = 1; j < b.size(); j++) {
                if (a[i] == b[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
                if (dp[i][j] > result) {
                    result = dp[i][j];
                }
            }
        }
        return result;
    }
};